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贵州建设局网站,注册个公司要多少钱,新开的公司怎么做网站,网站后台图片序列二次规划#xff08;Sequential Quadratic Programming, SQP#xff09;0. 先造一个超简单的一维问题1. 第 0 步#xff1a;选一个初始点#xff08;就像选一个“初始机器人姿态”#xff09;2. 第 1 步#xff1a;在当前点附近做“局部小问题”#xff08;SQP 的精…序列二次规划Sequential Quadratic Programming, SQP0. 先造一个超简单的一维问题1. 第 0 步选一个初始点就像选一个“初始机器人姿态”2. 第 1 步在当前点附近做“局部小问题”SQP 的精髓2.1 目标函数二次近似2.2 约束线性化真正的重点3. 第 2 步解这一轮的“小问题”一个 QP4. 第 3 步更新 进入下一轮迭代0. 先造一个超简单的一维问题我们造一个“玩具问题”目标让x xx尽量靠近 2也就是最小化( x − 2 ) 2 (x-2)^2(x−2)2约束x xx不能太大必须满足一个弯弯的非线性约束g ( x ) 1 − x 2 ≥ 0 g(x)1-x^2\ge0g(x)1−x2≥0这个约束g ( x ) ≥ 0 g(x)\ge0g(x)≥0等价于1 − x 2 ≥ 0 ⟺ x 2 ≤ 1 ⟺ − 1 ≤ x ≤ 1 1-x^2\ge0\iff x^2\le1\iff -1\le x\le11−x2≥0⟺x2≤1⟺−1≤x≤1所以原问题其实是min ⁡ x F ( x ) ( x − 2 ) 2 s.t. 1 − x 2 ≥ 0 \begin{aligned} \min_x\quad F(x)(x-2)^2\ \text{s.t.}\quad 1-x^2\ge0 \end{aligned}xmin​​F(x)(x−2)2s.t.​1−x2≥0​没有约束的话F ( x ) F(x)F(x)的最小值在x 2 x2x2但x xx必须在区间[ − 1 , 1 ] [-1,1][−1,1]里所以真正的最优解是x ⋆ 1 x^\star1x⋆1离 2 最近。我们现在要用“SQP 思想”一步一步往这个x ⋆ x^\starx⋆靠近。1. 第 0 步选一个初始点就像选一个“初始机器人姿态”假设我们一开始什么都不知道随便给一个可行点比如x ( 0 ) 0.5 x^{(0)}0.5x(0)0.5检查一下约束g ( x ( 0 ) ) 1 − ( 0.5 ) 2 1 − 0.25 0.75 0 g(x^{(0)})1-(0.5)^21-0.250.750g(x(0))1−(0.5)21−0.250.750OK说明x ( 0 ) x^{(0)}x(0)在可行域里面就像机器人这一帧姿态安全、不穿模。2. 第 1 步在当前点附近做“局部小问题”SQP 的精髓现在来到SQP 的关键思想在x ( 0 ) x^{(0)}x(0)附近把目标函数F ( x ) F(x)F(x)用一个二次函数近似这里它本来就是二次所以刚好“近似原函数”把约束g ( x ) ≥ 0 g(x)\ge0g(x)≥0用一条直线近似。然后解这个“目标二次 约束线性”的小问题QP作为当前迭代的更新。2.1 目标函数二次近似我们的目标是F ( x ) ( x − 2 ) 2 F(x)(x-2)^2F(x)(x−2)2它本来就是二次函数所以在x ( 0 ) x^{(0)}x(0)附近做“二次近似”其实就是它自己——不用改F ~ ( 0 ) ( x ) F ( x ) ( x − 2 ) 2 \tilde{F}^{(0)}(x)F(x)(x-2)^2F~(0)(x)F(x)(x−2)2对应论文原话“对匹配目标1a在上一次迭代的解附近做二次近似。”在这个玩具例子里“二次近似”刚好就是原函数本身。2.2 约束线性化真正的重点约束是g ( x ) 1 − x 2 ≥ 0 g(x)1-x^2\ge0g(x)1−x2≥0这是一条弯弯的抛物线我们在x ( 0 ) 0.5 x^{(0)}0.5x(0)0.5附近用它的切线来逼近它一维函数的线性化 在x ( 0 ) x^{(0)}x(0)点做一阶泰勒展开g ( x ) ≈ g ( x ( 0 ) ) g ′ ( x ( 0 ) ) ( x − x ( 0 ) ) g(x)\approx g(x^{(0)}) g(x^{(0)})(x-x^{(0)})g(x)≈g(x(0))g′(x(0))(x−x(0))先算这些量g ( x ) 1 − x 2 g(x)1-x^2g(x)1−x2导数g ′ ( x ) − 2 x g(x)-2xg′(x)−2x在x ( 0 ) 0.5 x^{(0)}0.5x(0)0.5处g ( x ( 0 ) ) 1 − ( 0.5 ) 2 0.75 g(x^{(0)})1-(0.5)^20.75g(x(0))1−(0.5)20.75g ′ ( x ( 0 ) ) − 2 ⋅ 0.5 − 1 g(x^{(0)})-2\cdot0.5-1g′(x(0))−2⋅0.5−1所以线性化得到g ~ ( 0 ) ( x ) g ( x ( 0 ) ) g ′ ( x ( 0 ) ) ( x − x ( 0 ) ) 0.75 ( − 1 ) ( x − 0.5 ) \tilde{g}^{(0)}(x) g(x^{(0)})g(x^{(0)})(x-x^{(0)}) 0.75 (-1)(x-0.5)g~​(0)(x)g(x(0))g′(x(0))(x−x(0))0.75(−1)(x−0.5)展开一下g ~ ( 0 ) ( x ) 0.75 − x 0.5 1.25 − x \tilde{g}^{(0)}(x) 0.75 - x 0.5 1.25 - xg~​(0)(x)0.75−x0.51.25−x于是原来的非线性约束g ( x ) ≥ 0 g(x)\ge0g(x)≥0在这一轮迭代里被近似成线性的g ~ ( 0 ) ( x ) 1.25 − x ≥ 0 ⇒ x ≤ 1.25 \tilde{g}^{(0)}(x)1.25-x\ge0\quad\Rightarrow\quad x\le1.25g~​(0)(x)1.25−x≥0⇒x≤1.25这就是论文那句“对非穿透约束1b进行线性化处理。”——原本弯的“不能穿透曲线”在这一轮里变成一条直线约束。注意真约束是− 1 ≤ x ≤ 1 -1\le x\le1−1≤x≤1线性近似约束是x ≤ 1.25 x\le1.25x≤1.25在x ( 0 ) 0.5 x^{(0)}0.5x(0)0.5附近这个线性近似是“差不太多”的至少方向对。真正的 SQP 还会加“信任域/步长控制”确保你不要一步走太远我们待会简单提一下。3. 第 2 步解这一轮的“小问题”一个 QP现在本轮的“局部近似问题”变成min ⁡ x F ~ ( 0 ) ( x ) ( x − 2 ) 2 s.t. g ~ ( 0 ) ( x ) 1.25 − x ≥ 0 ⇒ x ≤ 1.25 \begin{aligned} \min_x\quad \tilde{F}^{(0)}(x)(x-2)^2\ \text{s.t.}\quad \tilde{g}^{(0)}(x)1.25-x\ge0\quad\Rightarrow\quad x\le1.25 \end{aligned}xmin​​F~(0)(x)(x−2)2s.t.​g~​(0)(x)1.25−x≥0⇒x≤1.25​这是一个非常简单的二次规划问题目标( x − 2 ) 2 (x-2)^2(x−2)2是碗形向上的曲线最小值在x 2 x2x2但加了约束x ≤ 1.25 x\le1.25x≤1.25所以“能选的最小点”就是x ( 1 ) 1.25 x^{(1)}1.25x(1)1.25直观碗的最低点在 2但你被限制只能站在“2 左边不超过 1.25”的地方那你能到的最低的点自然是“最靠近 2 的 1.25”。于是x ( 1 ) 1.25 x^{(1)}1.25x(1)1.25这就是 SQP 第 1 轮迭代算出来的“新姿态”对应机器人那边的一帧q t ( 1 ) q_t^{(1)}qt(1)​。4. 第 3 步更新 进入下一轮迭代在真正的 SQP 里这时候还会做两件事检查原始约束是不是被破坏太多比如我们看一下真约束g ( x ) 1 − x 2 ≥ 0 g(x)1-x^2\ge0g(x)1−x2≥0在x ( 1 ) 1.25 x^{(1)}1.25x(1)1.25处g ( 1.25 ) 1 − ( 1.25 ) 2 1 − 1.5625 − 0.5625 0 g(1.25)1-(1.25)^21-1.5625-0.56250g(1.25)1−(1.25)21−1.5625−0.56250说明在线性近似约束里x 1.25 x1.25x1.25还算“合法”但对原始非线性约束来说1.25 1.251.25已经跑到可行域外了。所以真正的 SQP 会用“步长缩放 / 信任域”不会一下子从 0.5 跳到 1.25而是走一小步比如从 0.5 走到 0.8、0.9 之类的以保持可行性或至少不离太远。把x ( 1 ) x^{(1)}x(1)当成下一轮的“当前点”x ( 1 ) x^{(1)}x(1)再线性化/二次近似一次重复刚才的步骤。如果继续迭代几次你会发现解会慢慢靠近真正的可行最优点x ⋆ 1 x^\star1x⋆1。你此时需要记住的核心点只有每一轮目标 → 在当前点附近用二次函数近似非线性约束 → 在当前点附近用直线近似得到一个“二次目标 线性约束”的小问题 → 很好解解完 → 更新当前点 → 再近似 → 再解。这就是“序列二次规划”名字的由来不断解一串二次规划问题来逼近原来的非线性规划。