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张小明 2026/1/13 19:42:45
ssh鲜花礼品网站建设,wordpress文章获取接口,简历模板可编辑,乌兰浩特网站开发5.2 贝叶斯概率与统计推断:先验、后验与共轭先验 在人工智能处理不确定性问题时,存在两种根本性的概率哲学:频率主义与贝叶斯主义。频率主义概率被定义为长期重复试验中事件发生的极限频率,其核心推断工具是参数的点估计(如最大似然估计)及相应的置信区间。与之相对,贝…5.2 贝叶斯概率与统计推断:先验、后验与共轭先验在人工智能处理不确定性问题时,存在两种根本性的概率哲学:频率主义与贝叶斯主义。频率主义概率被定义为长期重复试验中事件发生的极限频率,其核心推断工具是参数的点估计(如最大似然估计)及相应的置信区间。与之相对,贝叶斯概率将概率解释为对命题主观置信度的定量描述,其核心推断框架——贝叶斯推断——通过贝叶斯定理将观测数据与先验信念系统性地结合,更新为后验信念。这一框架为机器学习中的参数估计、模型比较与不确定性量化提供了统一且原则性的方法论。本节将系统阐述贝叶斯推断的核心组件:先验分布、似然函数与后验分布,并深入探讨能极大简化计算的一类重要先验——共轭先验。5.2.1 贝叶斯定理:从先验到后验的更新规则贝叶斯推断的数学基础是贝叶斯定理,它描述了在获得新证据(数据)后,如何更新关于假设(参数)的概率。定理形式:对于参数θ\thetaθ(可视为随机变量)和观测数据D\mathcal{D}D,贝叶斯定理表述为:P(θ∣D)=P(D∣θ)P(θ)P(D) P(\theta | \mathcal{D}) = \frac{P(\mathcal{D} | \theta) P(\theta)}{P(\mathcal{D})}P(θ∣D)=P(D)P(D∣θ)P(θ)​其中:P(θ)P(\theta)P(θ)是先验分布,代表在观测数据之前对参数θ\thetaθ的信念。P(D∣θ)P(\mathcal{D} | \theta)P(D∣θ)是似然函数,表示在参数θ\thetaθ下观测到数据D\mathcal{D}D的可能性。P(D)P(\mathcal{D})P(D)是证据(或边缘似然),是数据在所有可能参数值下的总概率,起归一化作用:P(D)=∫P(D∣θ)P(θ)dθP(\mathcal{D}) = \int P(\mathcal{D} | \theta) P(\theta) d\thetaP(D)=∫P(D∣θ)P(θ)dθ(连续)或∑θP(D∣θ)P(θ)\sum_{\theta} P(\mathcal{D} | \theta) P(\theta)∑θ​P(D∣θ)P(θ)(离散)。P(θ∣D)P(\theta | \mathcal{D})P(θ∣D)是后验分布,代表在观测数据D\mathcal{D}D之后,对参数θ\thetaθ更新的信念。贝叶斯推断的哲学与流程:贝叶斯推断的本质是一个迭代学习过程:从先验信念出发,通过观测数据提供的似然信息,利用贝叶斯定理更新得到后验信念。该后验分布综合了先验知识与数据证据,是对参数完整的不确定性描述。推断的所有结果(如点估计、区间估计)均从后验分布中导出。后验分布又可以作为新一轮推断的先验,实现持续学习。5.2.2 先验分布:融合领域知识与正则化先验分布P(θ)P(\theta)P(θ)是贝叶斯框架区别于频率主义的关键,它允许在数据分析中融入数据之外的领域知识或结构性假设。先验的类型与选择:信息性先验:基于历史数据、专家知识或理论约束构建,用于表达较强的先验信念。例如,在估计药物有效性时,基于前期研究设定其效果为正且有限的先验。无信息先验:当缺乏先验知识时,旨在对后验分布施加最小影响的先验。常见选择有均匀分布、Jeffreys先验(在参数变换下具有不变性)等[1]。弱信息先验:介于信息性与无信息性之间,通常选择具有较大方差的分布(如方差很大的高斯分布),以表达模糊的信念方向同时避免极端结论。层次先验:当模型存在超参数时,可以为超参数本身再设定先验(超先验),构成层次贝叶斯模型,增加模型的灵活性与稳健性。作为正则化的先验:从优化角度看,最大化后验概率等价于最小化正则化的损失函数。具体地,最大后验估计为:θMAP=arg⁡max⁡θP(θ∣D)=arg⁡max⁡θ[log⁡P(D∣θ)+log⁡P(θ)] \theta_{MAP} = \arg\max_{\theta} P(\theta | \mathcal{D}) = \arg\max_{\theta} [\log P(\mathcal{D} | \theta) + \log P(\theta)]θMAP​=argθmax​P(θ∣D)=argθmax​[logP(D∣θ)+logP(θ)]其中log⁡P(D∣θ)\log P(\mathcal{D} | \theta)logP(D∣θ)是(对数)似然项,log⁡P(θ)\log P(\theta)logP(θ)是先验项,相当于在最大似然估计的目标函数上增加了一个正则化项。例如,高斯先验对应L2正则化,拉普拉斯先验对应L1正则化。5.2.3 似然函数:连接数据与模型的桥梁似然函数P(D∣θ)P(\mathcal{D} | \theta)P(D∣θ)是给定参数θ\thetaθ时,观测到当前数据D\mathcal{D}D的概率(密度)。在频率主义中,似然是推断的核心;在贝叶斯框架中,它是驱动先验更新的数据力量。定义与计算:对于独立同分布数据D={ x1,x2,...,xN}\mathcal{D} = \{x_1, x_2, ..., x_N\}D={x1​,x2​
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