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asp论坛网站源码,网站建设的论文,业务外包的典型案例,网站建设灰色关键词本文献给#xff1a; 已掌握图论基础#xff0c;希望理解如何在带权连通图中找到最小生成树的C语言学习者。本文将系统讲解两种经典的最小生成树算法。 你将学到#xff1a; 最小生成树问题的定义与核心概念Prim算法#xff1a;从顶点出发#xff0c;逐步扩张生成树Kruska…本文献给已掌握图论基础希望理解如何在带权连通图中找到最小生成树的C语言学习者。本文将系统讲解两种经典的最小生成树算法。你将学到最小生成树问题的定义与核心概念Prim算法从顶点出发逐步扩张生成树Kruskal算法按边权排序逐步合并连通分量算法对比与实战应用toc第一部分问题定义与核心概念1. 什么是最小生成树在带权连通无向图G(V,E,w)G (V, E, w)G(V,E,w)中w:E→Rw: E \rightarrow \mathbb{R}w:E→R为边权函数。生成树是GGG的一个子图它是一棵包含GGG中所有顶点的树。最小生成树是所有生成树中边权之和最小的生成树。关键术语连通图图中任意两个顶点都有路径相连。生成树包含所有顶点的树有∣V∣−1|V|-1∣V∣−1条边。边权通常为非负实数表示距离、成本等。最小生成树性质最小生成树不一定唯一但边权之和唯一。第二部分图的存储带权图与最短路径相同我们使用带权图的存储方式。#defineMAX_V100#defineINF0x3f3f3f3f// 表示无穷大的一个较大数值// 邻接矩阵带权typedefstruct{intmatrix[MAX_V][MAX_V];// 存储权值INF表示无边intvertex_count;}GraphMatrixWeighted;voidinit_graph_weighted(GraphMatrixWeighted*g,intn){g-vertex_countn;for(inti0;in;i){for(intj0;jn;j){g-matrix[i][j](ij)?0:INF;// 自身距离为0但生成树中不考虑自环}}}voidadd_edge_weighted(GraphMatrixWeighted*g,intu,intv,intweight){if(ug-vertex_count||vg-vertex_count)return;g-matrix[u][v]weight;g-matrix[v][u]weight;// 无向图}第三部分Prim算法1. 核心思想贪心策略。从任意一个顶点开始每次选择连接已选顶点集合和未选顶点集合的最小权值边并将该边连接的未选顶点加入已选集合。直到所有顶点都被选中。算法正确性依赖最小生成树的局部最优选择性质。2. 算法步骤朴素O(∣V∣2)O(|V|^2)O(∣V∣2)实现初始化选择一个起始顶点设置visited[src]1初始化min_edge[v]为从起始顶点到v的边权无边则为INF。循环|V|-1次a. 从未访问的顶点中选择min_edge值最小的顶点u。b. 将顶点u加入生成树标记visited[u]1累加生成树权重。c. 更新min_edge数组对于每个未访问的顶点v如果matrix[u][v] min_edge[v]则更新min_edge[v] matrix[u][v]。循环结束得到最小生成树的总权重。3. C语言实现// Prim算法 (邻接矩阵朴素实现)intprim(GraphMatrixWeighted*g){intvisited[MAX_V]{0};intmin_edge[MAX_V];// 记录当前已选顶点集合到未选顶点的最小边权inttotal_weight0;// 初始化从顶点0开始visited[0]1;for(inti0;ig-vertex_count;i){min_edge[i]g-matrix[0][i];}// 还需要选择 |V|-1 个顶点for(intcount1;countg-vertex_count;count){// 找到未访问的顶点中 min_edge 最小的顶点intu-1;intmin_weightINF;for(intv0;vg-vertex_count;v){if(!visited[v]min_edge[v]min_weight){min_weightmin_edge[v];uv;}}if(u-1){// 图不连通无法形成生成树return-1;}visited[u]1;total_weightmin_weight;// 更新 min_edge 数组for(intv0;vg-vertex_count;v){if(!visited[v]g-matrix[u][v]min_edge[v]){min_edge[v]g-matrix[u][v];}}}returntotal_weight;}算法复杂度时间复杂度O(∣V∣2)O(|V|^2)O(∣V∣2)适合稠密图。空间复杂度O(∣V∣)O(|V|)O(∣V∣)。优化方向使用**优先队列最小堆**可将时间复杂度降为O((∣V∣∣E∣)log⁡∣V∣)O((|V||E|) \log |V|)O((∣V∣∣E∣)log∣V∣)适合稀疏图。第四部分Kruskal算法1. 核心思想贪心策略。将图中的所有边按权值从小到大排序然后从权值最小的边开始如果这条边连接的两个顶点不在同一个连通分量中则选择这条边并将两个连通分量合并。直到选择了∣V∣−1|V|-1∣V∣−1条边。算法正确性依赖最小生成树的全局最优选择性质。2. 算法步骤将图中所有边按权值从小到大排序。初始化一个并查集每个顶点自成一个集合。依次考察每条边按权值从小到大如果该边连接的两个顶点属于不同的集合即不连通则选择该边并将两个集合合并。如果属于同一个集合则选择这条边会形成环因此舍弃。当选择的边数达到∣V∣−1|V|-1∣V∣−1时算法结束。3. 并查集Disjoint Set辅助数据结构Kruskal算法需要并查集来快速判断两个顶点是否属于同一个连通分量。// 并查集实现typedefstruct{intparent[MAX_V];intrank[MAX_V];}DisjointSet;voidmake_set(DisjointSet*ds,intn){for(inti0;in;i){ds-parent[i]i;ds-rank[i]0;}}intfind(DisjointSet*ds,intx){if(ds-parent[x]!x){ds-parent[x]find(ds,ds-parent[x]);// 路径压缩}returnds-parent[x];}voidunion_set(DisjointSet*ds,intx,inty){introot_xfind(ds,x);introot_yfind(ds,y);if(root_x!root_y){// 按秩合并if(ds-rank[root_x]ds-rank[root_y]){ds-parent[root_x]root_y;}elseif(ds-rank[root_x]ds-rank[root_y]){ds-parent[root_y]root_x;}else{ds-parent[root_y]root_x;ds-rank[root_x];}}}4. Kruskal算法实现为了便于操作我们使用边列表来存储图。// 边结构体typedefstruct{intu,v;intweight;}Edge;// 图边列表typedefstruct{Edge edges[MAX_V*MAX_V];intedge_count;intvertex_count;}GraphEdgeList;// 比较函数用于排序intcompare_edges(constvoid*a,constvoid*b){Edge*edge_a(Edge*)a;Edge*edge_b(Edge*)b;returnedge_a-weight-edge_b-weight;}// Kruskal算法intkruskal(GraphEdgeList*g){// 1. 将边按权值排序qsort(g-edges,g-edge_count,sizeof(Edge),compare_edges);// 2. 初始化并查集DisjointSet ds;make_set(ds,g-vertex_count);inttotal_weight0;intedges_selected0;// 3. 遍历每条边for(inti0;ig-edge_count;i){intug-edges[i].u;intvg-edges[i].v;intweightg-edges[i].weight;// 如果u和v不在同一个集合中if(find(ds,u)!find(ds,v)){union_set(ds,u,v);total_weightweight;edges_selected;if(edges_selectedg-vertex_count-1){break;}}}// 如果选出的边数不足 |V|-1则图不连通if(edges_selected!g-vertex_count-1){return-1;}returntotal_weight;}算法复杂度时间复杂度O(∣E∣log⁡∣E∣)O(|E| \log |E|)O(∣E∣log∣E∣)主要开销在排序。空间复杂度O(∣V∣∣E∣)O(|V| |E|)O(∣V∣∣E∣)。第五部分总结与对比算法对比表特性Prim算法Kruskal算法适用图类型连通图通常稠密图连通图通常稀疏图核心思想从顶点出发逐步扩张生成树按边权排序逐步合并连通分量时间复杂度O(∣V∣2)O(|V|^2)O(∣V∣2)或O((∣V∣∣E∣)log⁡∣V∣)O((|V||E|)\log|V|)O((∣V∣∣E∣)log∣V∣)O(∣E∣log⁡∣E∣)O(|E|\log|E|)O(∣E∣log∣E∣)空间复杂度O(∣V∣)O(|V|)O(∣V∣)O(∣V∣∣E∣)O(|V||E|)O(∣V∣∣E∣)优点适合稠密图实现简单适合稀疏图边排序后操作简单缺点稠密图时效率高稀疏图不如Kruskal稀疏图时效率高稠密图排序开销大存储结构邻接矩阵或邻接表边列表选择指南稠密图优先使用Prim算法朴素实现即可。稀疏图优先使用Kruskal算法因为其时间复杂度与边数有关排序开销相对较小。图存储结构如果图本身是边列表形式使用Kruskal算法更方便如果是邻接矩阵或邻接表Prim算法可能更方便。觉得文章有帮助别忘了 点赞 - 给我一点鼓励⭐ 收藏 ⭐- 方便以后查看 关注 - 获取更新通知标签#C语言#图论#最小生成树#Prim算法#Kruskal算法#算法