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南阳开网站制作,鲜花网站建设方案,wordpress 签到 插件,如何查看一个网站的访问量傅里叶变换小白教程#xff1a;从“拆解音乐”到“解读世界” 1. 引言#xff1a;复杂事物的“简单密码” 你有没有想过#xff1a; 一首钢琴曲为什么能被拆解成“do、re、mi”等简单音符#xff1f;一幅油画为什么能通过“红、绿、蓝”三原色混合而成#xff1f;一段电流…傅里叶变换小白教程从“拆解音乐”到“解读世界”1. 引言复杂事物的“简单密码”你有没有想过一首钢琴曲为什么能被拆解成“do、re、mi”等简单音符一幅油画为什么能通过“红、绿、蓝”三原色混合而成一段电流信号为什么能去掉噪声、保留有用信息答案藏在傅里叶变换里——它是一把“拆解复杂事物的钥匙”能将任何满足条件的信号声音、图像、电流等分解为不同频率的正弦波/余弦波的叠加帮我们从“时间的维度”跳转到“频率的维度”看清事物的本质。2. 背景溯源从“热传导”到“傅里叶级数”傅里叶变换的起源要从19世纪法国数学家让-巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶Jean-Baptiste Joseph Fourier的研究说起。1807年傅里叶在解决热传导问题时发现任何周期函数都可以分解为正弦波和余弦波的叠加。这一结论在当时引发了争议拉格朗日等数学家认为“非光滑函数无法用光滑的正弦波叠加”但傅里叶通过严格推导证明了其正确性。1822年他在《热的解析理论》一书中系统提出傅里叶级数Fourier Series为后来的傅里叶变换奠定了基础。20世纪后随着通信、信号处理等领域的发展傅里叶级数被扩展到非周期函数形成了我们今天熟知的傅里叶变换Fourier Transform。3. 核心思想所有信号都是“正弦波的叠加”傅里叶变换的核心可以用一句话概括任何满足条件的信号都能分解为不同频率的正弦波或复指数波的线性叠加反之这些正弦波也能重构出原信号。举个最直观的例子我们听到的音乐是时域信号随时间变化的空气振动而音乐的“音调”对应频率do261.6Hzre293.7Hzmi329.6Hz……。傅里叶变换做的事就是把“时域的曲子”转换成“频域的乐谱”——告诉你每个频率的声音有多强振幅谱每个频率的声音在什么时候出现相位谱。4. 基础铺垫理解傅里叶的“语言”在正式学习傅里叶变换前需要先掌握两个关键概念——周期函数和正交函数。4.1 周期函数与角频率如果一个函数满足f(tT)f(t)f(t T) f(t)f(tT)f(t)TTT是常数称为周期则它是周期函数。例如正弦波sin⁡(ω0t)\sin(\omega_0 t)sin(ω0​t)的周期T2πω0T \frac{2\pi}{\omega_0}Tω0​2π​其中ω02πT\omega_0 \frac{2\pi}{T}ω0​T2π​称为角频率单位rad/s对应“单位时间内的角度变化”频率f01Tω02πf_0 \frac{1}{T} \frac{\omega_0}{2\pi}f0​T1​2πω0​​单位Hz赫兹表示“每秒振动的次数”。4.2 正交函数分解的“坐标系”要分解一个函数需要一组正交函数作为“基”——就像用x轴、y轴描述平面上的点。两个函数g(t)g(t)g(t)和h(t)h(t)h(t)在区间[a,b][a, b][a,b]上正交当且仅当∫abg(t)h(t)dt0(geqh)\int_a^b g(t) h(t) dt 0 \quad (geq h)∫ab​g(t)h(t)dt0(geqh)而当ghg hgh时积分结果是它们的“模长平方”类似坐标系轴的长度。对于周期为TTT的函数最常用的正交基是三角函数系{1,cos⁡(ω0t),sin⁡(ω0t),cos⁡(2ω0t),sin⁡(2ω0t),… }\{1, \cos(\omega_0 t), \sin(\omega_0 t), \cos(2\omega_0 t), \sin(2\omega_0 t), \dots\}{1,cos(ω0​t),sin(ω0​t),cos(2ω0​t),sin(2ω0​t),…}这个函数系在[−T/2,T/2][-T/2, T/2][−T/2,T/2]上满足正交性比如∫−T/2T/2cos⁡(mω0t)sin⁡(nω0t)dt0\int_{-T/2}^{T/2} \cos(m\omega_0 t) \sin(n\omega_0 t) dt 0∫−T/2T/2​cos(mω0​t)sin(nω0​t)dt0余弦与正弦正交∫−T/2T/2cos⁡(mω0t)cos⁡(nω0t)dt0\int_{-T/2}^{T/2} \cos(m\omega_0 t) \cos(n\omega_0 t) dt 0∫−T/2T/2​cos(mω0​t)cos(nω0​t)dt0meqnm eq nmeqn时余弦项之间正交。5. 傅里叶级数周期信号的“拆解工具”傅里叶级数是傅里叶变换的“前身”用于处理周期信号如方波、正弦波。5.1 三角形式直观的“正弦波叠加”对于周期为TTT、角频率为ω02πT\omega_0 \frac{2\pi}{T}ω0​T2π​的函数f(t)f(t)f(t)若满足狄利克雷条件后面会讲则可以展开为f(t)a02∑n1∞[ancos⁡(nω0t)bnsin⁡(nω0t)]f(t) \frac{a_0}{2} \sum_{n1}^\infty \left[ a_n \cos(n\omega_0 t) b_n \sin(n\omega_0 t) \right]f(t)2a0​​∑n1∞​[an​cos(nω0​t)bn​sin(nω0​t)]其中a02\frac{a_0}{2}2a0​​直流分量常数项对应频率0的成分ancos⁡(nω0t)a_n \cos(n\omega_0 t)an​cos(nω0​t)余弦谐波bnsin⁡(nω0t)b_n \sin(n\omega_0 t)bn​sin(nω0​t)正弦谐波n1,2,…n 1, 2, \dotsn1,2,…谐波次数——n1n1n1是基波频率与原函数相同n1n1n1是高次谐波频率为基波的整数倍。5.2 系数计算正交性的“魔法”要得到a0,an,bna_0, a_n, b_na0​,an​,bn​需利用三角函数系的正交性——让其他项在积分时“消失”只保留目标系数。1计算直流分量a0a_0a0​将傅里叶级数两边在[−T/2,T/2][-T/2, T/2][−T/2,T/2]上积分∫−T/2T/2f(t)dt∫−T/2T/2a02dt∑n1∞[an∫−T/2T/2cos⁡(nω0t)dtbn∫−T/2T/2sin⁡(nω0t)dt]\int_{-T/2}^{T/2} f(t) dt \int_{-T/2}^{T/2} \frac{a_0}{2} dt \sum_{n1}^\infty \left[ a_n \int_{-T/2}^{T/2} \cos(n\omega_0 t) dt b_n \int_{-T/2}^{T/2} \sin(n\omega_0 t) dt \right]∫−T/2T/2​f(t)dt∫−T/2T/2​2a0​​dt∑n1∞​[an​∫−T/2T/2​cos(nω0​t)dtbn​∫−T/2T/2​sin(nω0​t)dt]由于余弦和正弦在整周期内的积分是0右边求和项全为0因此a02T∫−T/2T/2f(t)dta_0 \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) dta0​T2​∫−T/2T/2​f(t)dt2计算余弦系数ana_nan​将傅里叶级数两边乘以cos⁡(nω0t)\cos(n\omega_0 t)cos(nω0​t)并积分∫−T/2T/2f(t)cos⁡(nω0t)dtan⋅T2\int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos(n\omega_0 t) dt a_n \cdot \frac{T}{2}∫−T/2T/2​f(t)cos(nω0​t)dtan​⋅2T​其他项因正交性消失因此an2T∫−T/2T/2f(t)cos⁡(nω0t)dt(n≥1)a_n \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos(n\omega_0 t) dt \quad (n \geq 1)an​T2​∫−T/2T/2​f(t)cos(nω0​t)dt(n≥1)3计算正弦系数bnb_nbn​类似地乘以sin⁡(nω0t)\sin(n\omega_0 t)sin(nω0​t)并积分bn2T∫−T/2T/2f(t)sin⁡(nω0t)dt(n≥1)b_n \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin(n\omega_0 t) dt \quad (n \geq 1)bn​T2​∫−T/2T/2​f(t)sin(nω0​t)dt(n≥1)5.3 例子方波的傅里叶级数分解我们用周期方波验证傅里叶级数的效果。假设方波周期T2T 2T2ω0π\omega_0 \piω0​π表达式为f(t){1∣t∣0.500.5∣t∣1f(t) \begin{cases} 1 |t| 0.5 \\ 0 0.5 |t| 1 \end{cases}f(t){10​∣t∣0.50.5∣t∣1​计算系数a0∫−11f(t)dt1a_0 \int_{-1}^{1} f(t) dt 1a0​∫−11​f(t)dt1直流分量an∫−0.50.5cos⁡(nπt)dt2nπsin⁡(nπ2)a_n \int_{-0.5}^{0.5} \cos(n\pi t) dt \frac{2}{n\pi} \sin\left( \frac{n\pi}{2} \right)an​∫−0.50.5​cos(nπt)dtnπ2​sin(2nπ​)偶数项为0奇数项交替为±2nπ\pm\frac{2}{n\pi}±nπ2​bn0b_n 0bn​0方波是偶函数与奇函数sin⁡(nω0t)\sin(n\omega_0 t)sin(nω0​t)乘积的积分是0。因此方波的傅里叶级数为f(t)122π(cos⁡(πt)−13cos⁡(3πt)15cos⁡(5πt)−⋯ )f(t) \frac{1}{2} \frac{2}{\pi} \left( \cos(\pi t) - \frac{1}{3} \cos(3\pi t) \frac{1}{5} \cos(5\pi t) - \cdots \right)f(t)21​π2​(cos(πt)−31​cos(3πt)51​cos(5πt)−⋯)当我们取前1项基波、前3项基波3次谐波、前5项……时级数的和会越来越接近原方波——这就是傅里叶级数的“逼近”效果5.4 复数形式更简洁的数学表达三角形式虽然直观但计算繁琐。利用欧拉公式ejθcos⁡θjsin⁡θe^{j\theta} \cos\theta j\sin\thetaejθcosθjsinθj−1j \sqrt{-1}j−1​是虚数单位可以将傅里叶级数转化为复数形式$f(t) \sum_{n-\infty}^\infty c_n e^{j n \omega_0 t}$其中cnc_ncn​是复数系数表示第nnn次谐波的“复振幅”包含振幅和相位信息。复数系数的计算公式为cn1T∫−T/2T/2f(t)e−jnω0tdt(n0,±1,±2,… )c_n \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-j n \omega_0 t} dt \quad (n 0, \pm1, \pm2, \dots)cn​T1​∫−T/2T/2​f(t)e−jnω0​tdt(n0,±1,±2,…)复数形式的优势统一了余弦和正弦项用单一复指数函数表示为傅里叶变换的推导提供了自然过渡频域表示更对称包含正、负频率但负频率是数学共轭物理意义与正频率一致。6. 傅里叶变换从周期到非周期的“飞跃”傅里叶级数处理的是周期信号但现实中的信号大多是非周期的如一次闪电、一段语音。如何扩展到非周期信号6.1 核心思路非周期“周期无穷大”非周期信号可以看作“周期无穷大的周期信号”——当周期T→∞T \to \inftyT→∞时信号不再重复变成非周期。6.2 从离散到连续傅里叶变换的推导假设我们有一个非周期函数f(t)f(t)f(t)构造周期函数fT(t)f_T(t)fT​(t)∣t∣T/2|t| T/2∣t∣T/2时fT(t)f(t)f_T(t) f(t)fT​(t)f(t)否则重复。当T→∞T \to \inftyT→∞时频率离散→连续角频率间隔Δωω02πT→0\Delta\omega \omega_0 \frac{2\pi}{T} \to 0Δωω0​T2π​→0离散频率nω0n\omega_0nω0​变成连续频率ω\omegaω系数缩放复数系数cn1TF(nω0)c_n \frac{1}{T} F(n\omega_0)cn​T1​F(nω0​)其中F(nω0)∫−∞∞f(t)e−jnω0tdtF(n\omega_0) \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-j n \omega_0 t} dtF(nω0​)∫−∞∞​f(t)e−jnω0​tdt当T→∞T \to \inftyT→∞时F(nω0)→F(ω)F(n\omega_0) \to F(\omega)F(nω0​)→F(ω)即傅里叶变换。6.3 傅里叶变换对分解与重构通过极限推导最终得到傅里叶变换正变换时域→频域和逆傅里叶变换逆变换频域→时域的公式正变换时域→频域F(ω)F{f(t)}∫−∞∞f(t)e−jωtdtF(\omega) \mathcal{F}\{f(t)\} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-j\omega t} dtF(ω)F{f(t)}∫−∞∞​f(t)e−jωtdtF(ω)F(\omega)F(ω)称为f(t)f(t)f(t)的傅里叶变换频域表示e−jωte^{-j\omega t}e−jωt是“基函数”复指数波积分表示将f(t)f(t)f(t)投影到所有频率ω\omegaω的基函数上得到每个频率的“强度”。逆变换频域→时域f(t)F−1{F(ω)}12π∫−∞∞F(ω)ejωtdωf(t) \mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\} \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{j\omega t} d\omegaf(t)F−1{F(ω)}2π1​∫−∞∞​F(ω)ejωtdω逆变换是正变换的“逆操作”将频域的所有复指数波叠加重构出时域信号12π\frac{1}{2\pi}2π1​是归一化系数补偿正变换的积分缩放。6.4 频域的物理意义振幅谱与相位谱傅里叶变换F(ω)F(\omega)F(ω)是复函数可以表示为F(ω)∣F(ω)∣ejϕ(ω)F(\omega) |F(\omega)| e^{j\phi(\omega)}F(ω)∣F(ω)∣ejϕ(ω)其中∣F(ω)∣|F(\omega)|∣F(ω)∣振幅谱幅频特性表示频率ω\omegaω的成分“有多强”ϕ(ω)arg⁡(F(ω))\phi(\omega) \arg(F(\omega))ϕ(ω)arg(F(ω))相位谱相频特性表示该成分“在什么时候出现”。6.5 关键性质傅里叶的“实用技巧”傅里叶变换有许多重要性质以下是最常用的三个1线性性质若F{f1(t)}F1(ω)\mathcal{F}\{f_1(t)\} F_1(\omega)F{f1​(t)}F1​(ω)F{f2(t)}F2(ω)\mathcal{F}\{f_2(t)\} F_2(\omega)F{f2​(t)}F2​(ω)则F{af1(t)bf2(t)}aF1(ω)bF2(ω)\mathcal{F}\{a f_1(t) b f_2(t)\} a F_1(\omega) b F_2(\omega)F{af1​(t)bf2​(t)}aF1​(ω)bF2​(ω)——复杂信号的傅里叶变换等于其成分的线性组合。2时移性质若F{f(t)}F(ω)\mathcal{F}\{f(t)\} F(\omega)F{f(t)}F(ω)则F{f(t−t0)}e−jωt0F(ω)\mathcal{F}\{f(t - t_0)\} e^{-j\omega t_0} F(\omega)F{f(t−t0​)}e−jωt0​F(ω)——时域信号延迟t0t_0t0​振幅谱不变相位谱增加−ωt0-\omega t_0−ωt0​相位偏移与频率成正比。3频移性质若F{f(t)}F(ω)\mathcal{F}\{f(t)\} F(\omega)F{f(t)}F(ω)则F{f(t)ejω0t}F(ω−ω0)\mathcal{F}\{f(t) e^{j\omega_0 t}\} F(\omega - \omega_0)F{f(t)ejω0​t}F(ω−ω0​)——时域信号乘以复指数ejω0te^{j\omega_0 t}ejω0​t频域谱整体右移ω0\omega_0ω0​通信中“调制”的理论基础。7. 适用边界与局限性傅里叶变换是强大的工具但并非“万能”——它有严格的适用条件和固有局限性。7.1 适用条件狄利克雷条件一个函数f(t)f(t)f(t)能进行傅里叶变换需满足狄利克雷条件绝对可积∫−∞∞∣f(t)∣dt∞\int_{-\infty}^\infty |f(t)| dt \infty∫−∞∞​∣f(t)∣dt∞充分非必要如冲激函数δ(t)\delta(t)δ(t)不绝对可积但傅里叶变换存在有限正则性任意有限区间内f(t)f(t)f(t)只有有限个极值点和有限个第一类不连续点跳跃不连续左、右极限存在。7.2 固有局限性时间与频率的“权衡”傅里叶变换是全局分析——它给出信号在整个时间域内的频率成分但无法定位“某个频率在什么时候出现”。例如一个突然出现的高频脉冲傅里叶变换会显示有高频成分但无法确定脉冲的时间。这源于海森堡不确定性原理Δt⋅Δω≥12\Delta t \cdot \Delta\omega \geq \frac{1}{2}Δt⋅Δω≥21​Δt\Delta tΔt时间分辨率精确确定事件时间的能力Δω\Delta\omegaΔω频率分辨率精确区分频率成分的能力结论时间分辨率越高频率分辨率越低反之亦然。7.3 不适用的场景非平稳信号频率随时间变化的信号如鸟鸣、音乐滑音傅里叶变换无法捕捉频率的时变特性强突变信号含有尖锐突变的信号如冲激的导数傅里叶变换收敛慢离散信号连续傅里叶变换处理的是连续时间信号离散信号需用离散傅里叶变换DFT或快速傅里叶变换FFT。8. 傅里叶变换的“用武之地”傅里叶变换是信号处理、图像处理、通信等领域的“基石”以下是典型应用8.1 信号滤波去掉噪声例如去掉语音中的高频噪声时域信号f(t)语音高频噪声f(t) \text{语音} \text{高频噪声}f(t)语音高频噪声正变换得到F(ω)语音谱噪声谱F(\omega) \text{语音谱} \text{噪声谱}F(ω)语音谱噪声谱频域滤波去掉高频成分噪声逆变换得到干净的语音ffiltered(t)f_{\text{filtered}}(t)ffiltered​(t)。8.2 图像处理边缘检测图像是二维信号空间域的亮度分布其傅里叶变换是二维傅里叶变换F(u,v)∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)e−j(uxvy)dxdyF(u,v) \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x,y) e^{-j(ux vy)} dx dyF(u,v)∫−∞∞​∫−∞∞​f(x,y)e−j(uxvy)dxdy高频成分对应图像的边缘亮度突变提取高频成分逆变换后得到边缘图像。8.3 通信调制与解调低频信号如语音无法远距离传输需调制到高频载波上时域调制s(t)f(t)cos⁡(ωct)s(t) f(t) \cos(\omega_c t)s(t)f(t)cos(ωc​t)ωc\omega_cωc​是载波频率频域效果S(ω)12F(ω−ωc)12F(ωωc)S(\omega) \frac{1}{2} F(\omega - \omega_c) \frac{1}{2} F(\omega \omega_c)S(ω)21​F(ω−ωc​)21​F(ωωc​)低频谱复制到载波两侧接收端解调去掉载波恢复原信号AM广播的原理。9. 总结傅里叶变换的“本质”傅里叶变换的核心是**“分解-重构”**的思维分解将时域的复杂信号拆成频域的正弦波或复指数波处理在频域对信号进行操作如滤波、调制重构逆变换回时域得到处理后的信号。对小白来说记住这句话就够了傅里叶变换是“时域与频域之间的翻译器”——它把“时间的故事”翻译成“频率的乐谱”让我们能从另一个角度理解世界。最后傅里叶变换不是终点而是起点——它开启了“时频分析”的大门后续的小波变换、短时傅里叶变换等都是在傅里叶变换的基础上发展起来的。但无论工具多复杂“分解与重构”的思想始终是核心。附录关键公式汇总傅里叶级数三角形式f(t)a02∑n1∞[ancos⁡(nω0t)bnsin⁡(nω0t)]f(t) \frac{a_0}{2} \sum_{n1}^\infty [a_n \cos(n\omega_0 t) b_n \sin(n\omega_0 t)]f(t)2a0​​∑n1∞​[an​cos(nω0​t)bn​sin(nω0​t)]傅里叶级数复数形式f(t)∑n−∞∞cnejnω0tf(t) \sum_{n-\infty}^\infty c_n e^{j n \omega_0 t}f(t)∑n−∞∞​cn​ejnω0​t傅里叶变换对F(ω)∫−∞∞f(t)e−jωtdt,f(t)12π∫−∞∞F(ω)ejωtdωF(\omega) \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-j\omega t} dt, \quad f(t) \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{j\omega t} d\omegaF(ω)∫−∞∞​f(t)e−jωtdt,f(t)2π1​∫−∞∞​F(ω)ejωtdω希望这篇教程能帮你打开傅里叶变换的大门——接下来就可以用它去解读更多“复杂世界的简单密码”了案例介绍模拟一个由低频正弦波和高频噪声叠加的非周期信号使用傅里叶变换分解信号得到振幅谱通过频域滤波去除高频噪声后重构信号对比滤波前后的时域波形差异。# 导入必要的库importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotasplt# 定义生成模拟信号的函数defgenerate_signal(time:np.ndarray,f_low:float5.0,# 低频信号频率单位Hznoise_amp:float0.3# 噪声振幅)-np.ndarray: 生成由低频正弦波和随机高频噪声叠加的模拟信号 :param time: 时间序列一维数组 :param f_low: 低频正弦波频率默认5Hz :param noise_amp: 高斯噪声振幅默认0.3 :return: 叠加噪声后的模拟信号一维数组 # 生成低频正弦波low_freq_wavenp.sin(2*np.pi*f_low*time)# 生成随机高频噪声noisenoise_amp*np.random.randn(len(time))# 叠加得到模拟信号signallow_freq_wavenoisereturnsignal# 定义傅里叶变换及滤波函数deffft_filter(signal:np.ndarray,sampling_rate:float,cutoff_freq:float10.0# 滤波截止频率)-np.ndarray: 对信号进行傅里叶变换频域滤波后重构信号 :param signal: 输入时域信号一维数组 :param sampling_rate: 采样频率单位Hz :param cutoff_freq: 低通滤波截止频率默认10Hz :return: 滤波后的时域信号一维数组 # 对信号进行快速傅里叶变换fft_resultnp.fft.fft(signal)# 获取频率轴freq_axisnp.fft.fftfreq(len(signal),d1/sampling_rate)# 生成低通滤波掩码保留截止频率以下的成分low_pass_masknp.abs(freq_axis)cutoff_freq# 应用滤波掩码filtered_fftfft_result*low_pass_mask# 逆傅里叶变换重构时域信号filtered_signalnp.real(np.fft.ifft(filtered_fft))returnfiltered_signal# 定义可视化函数defplot_results(time:np.ndarray,original:np.ndarray,filtered:np.ndarray,sampling_rate:float)-None: 绘制原始信号、滤波后信号及时域波形图 :param time: 时间序列一维数组 :param original: 原始时域信号一维数组 :param filtered: 滤波后时域信号一维数组 :param sampling_rate: 采样频率单位Hz :return: None # 创建画布fig,axesplt.subplots(2,1,figsize(12,8))# 设置字体大小plt.rcParams[font.size]12# 绘制原始信号axes[0].plot(time,original,colorblue,labelOriginal Signal)axes[0].set_title(Original Time-Domain Signal (with Noise))axes[0].set_xlabel(Time (s))axes[0].set_ylabel(Amplitude)axes[0].grid(True)axes[0].legend()# 绘制滤波后信号axes[1].plot(time,filtered,colorred,labelFiltered Signal)axes[1].set_title(Filtered Time-Domain Signal (without High-Frequency Noise))axes[1].set_xlabel(Time (s))axes[1].set_ylabel(Amplitude)axes[1].grid(True)axes[1].legend()# 调整子图间距plt.tight_layout()# 显示图像plt.show()# 主程序defmain(): 主函数执行信号生成、傅里叶滤波及结果可视化流程 :return: None # 设置采样参数sampling_rate100.0# 采样频率单位Hzduration2.0# 信号持续时间单位s# 生成时间序列timenp.linspace(0.0,duration,int(sampling_rate*duration),endpointFalse)# 生成模拟信号original_signalgenerate_signal(time)# 傅里叶变换频域滤波filtered_signalfft_filter(original_signal,sampling_rate)# 可视化结果plot_results(time,original_signal,filtered_signal,sampling_rate)# 程序入口if__name____main__:main()代码功能总述该代码实现了基于快速傅里叶变换(FFT)的频域低通滤波流程生成“低频正弦波随机高频高斯噪声”的混合模拟信号对混合信号进行傅里叶变换得到频域谱设计低通滤波器保留低频有用信号、滤除高频噪声通过逆傅里叶变换重构时域信号并可视化滤波前后的差异。逐模块深度解析1. 库导入模块importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltnumpy (np)提供向量/矩阵运算、傅里叶变换等数值计算核心功能是科学计算的基础。matplotlib.pyplot (plt)用于绘制时域信号波形图可视化滤波效果。2. 模拟信号生成函数generate_signaldefgenerate_signal(time:np.ndarray,f_low:float5.0,# 低频信号频率单位Hznoise_amp:float0.3# 噪声振幅)-np.ndarray:# 生成低频正弦波low_freq_wavenp.sin(2*np.pi*f_low*time)# 生成随机高频噪声noisenoise_amp*np.random.randn(len(time))# 叠加得到模拟信号signallow_freq_wavenoisereturnsignal数学原理与代码逻辑time采样时间序列由主函数通过np.linspace生成等间隔采样点的时间戳。低频正弦波公式为y(t)sin⁡(2πflowt)y(t) \sin(2\pi f_{\text{low}} t)y(t)sin(2πflow​t)其中2πflow2\pi f_{\text{low}}2πflow​是角频率确保信号在单位时间内完成flowf_{\text{low}}flow​个周期。高频噪声用np.random.randn生成零均值高斯白噪声高频特性源于其频谱平坦包含所有频率成分noise_amp控制噪声强度。信号叠加将有用低频波与噪声线性相加模拟现实中“信号被噪声污染”的场景。3. 傅里叶滤波核心函数fft_filterdeffft_filter(signal:np.ndarray,sampling_rate:float,cutoff_freq:float10.0# 滤波截止频率)-np.ndarray:# 快速傅里叶变换时域→频域fft_resultnp.fft.fft(signal)# 生成频率轴freq_axisnp.fft.fftfreq(len(signal),d1/sampling_rate)# 低通滤波掩码保留截止频率以下的成分low_pass_masknp.abs(freq_axis)cutoff_freq# 应用掩码滤波filtered_fftfft_result*low_pass_mask# 逆傅里叶变换频域→时域filtered_signalnp.real(np.fft.ifft(filtered_fft))returnfiltered_signal这是代码的核心模块涉及傅里叶变换的底层逻辑需结合数学原理理解3.1 快速傅里叶变换(FFT)函数np.fft.fft(signal)数学本质将时域离散信号x(n)x(n)x(n)转换为频域离散谱X(k)X(k)X(k)公式为X(k)∑n0N−1x(n)e−j2πNknX(k) \sum_{n0}^{N-1} x(n) e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}X(k)∑n0N−1​x(n)e−jN2π​kn其中NNN是信号长度jjj是虚数单位。fft_result是复数数组包含各频率成分的振幅和相位信息。3.2 频率轴生成函数np.fft.fftfreq(len(signal), d1/sampling_rate)参数解释d采样间隔即相邻两个采样点的时间差Δt1sampling_rate\Delta t \frac{1}{\text{sampling\_rate}}Δtsampling_rate1​返回值频率轴数组范围为[−fs2,fs2)[-\frac{f_s}{2}, \frac{f_s}{2})[−2fs​​,2fs​​)fsf_sfs​为采样频率符合奈奎斯特采样定理能处理的最高频率为fs2\frac{f_s}{2}2fs​​。例如采样率fs100Hzf_s100\text{Hz}fs​100Hz则频率轴范围为[−50Hz,50Hz)[-50\text{Hz}, 50\text{Hz})[−50Hz,50Hz)。3.3 低通滤波掩码逻辑low_pass_mask np.abs(freq_axis) cutoff_freq本质生成一个布尔数组仅保留绝对值≤截止频率的频率成分即低频有用信号其他高频噪声成分置零。本例中cutoff_freq10\text{Hz}因此保留[−10Hz,10Hz][-10\text{Hz}, 10\text{Hz}][−10Hz,10Hz]的频率滤除高于10Hz的噪声符合“低频5Hz信号高频噪声”的场景设计。3.4 频域滤波与逆傅里叶变换滤波filtered_fft fft_result * low_pass_mask逐元素乘积高频成分被掩码置零逆FFTnp.fft.ifft(filtered_fft)将滤除后的频域信号转换回时域取实部np.real(...)是因为浮点运算误差可能产生微小虚部理论上时域信号应为实数故需舍去虚部。4. 可视化函数plot_resultsdefplot_results(time:np.ndarray,original:np.ndarray,filtered:np.ndarray,sampling_rate:float)-None:fig,axesplt.subplots(2,1,figsize(12,8))# 创建2行1列的画布plt.rcParams[font.size]12# 设置字体大小# 绘制原始含噪信号axes[0].plot(time,original,colorblue,labelOriginal Signal)axes[0].set_title(Original Time-Domain Signal (with Noise))axes[0].set_xlabel(Time (s))axes[0].set_ylabel(Amplitude)axes[0].grid(True)axes[0].legend()# 绘制滤波后信号axes[1].plot(time,filtered,colorred,labelFiltered Signal)axes[1].set_title(Filtered Time-Domain Signal (without High-Frequency Noise))axes[1].set_xlabel(Time (s))axes[1].set_ylabel(Amplitude)axes[1].grid(True)axes[1].legend()plt.tight_layout()# 自动调整子图间距plt.show()# 显示图像功能将原始含噪信号与滤波后干净信号绘制在同一画布的上下两个子图中直观对比滤波效果。关键参数figsize控制画布大小gridTrue添加网格线便于观察波形label和legend用于标识曲线含义。5. 主函数与程序入口defmain():# 采样参数设置sampling_rate100.0# 采样频率每秒采集100个点duration2.0# 信号持续时间2秒# 生成时间序列从0到2秒共200个采样点endpointFalse表示不含终点2.0timenp.linspace(0.0,duration,int(sampling_rate*duration),endpointFalse)# 生成模拟含噪信号original_signalgenerate_signal(time)# 傅里叶滤波filtered_signalfft_filter(original_signal,sampling_rate)# 可视化结果plot_results(time,original_signal,filtered_signal,sampling_rate)if__name____main__:main()流程控制逻辑采样参数采样率fs100Hzf_s100\text{Hz}fs​100Hz满足奈奎斯特条件有用信号频率5Hz需fs2×510Hzf_s 2 \times 5 10\text{Hz}fs​2×510Hz持续时间2秒故采样点总数Nfs×duration200N f_s \times \text{duration} 200Nfs​×duration200。时间序列生成np.linspace生成等间隔时间戳endpointFalse确保时间点从0开始步长为1/fs0.01秒1/f_s0.01\text{秒}1/fs​0.01秒。函数调用链生成信号 → 滤波 → 可视化构成完整的“信号处理流水线”。关键数学建模知识点总结代码模块核心数学原理建模意义信号生成正弦波公式 $\sin(2\pi ft)$、高斯白噪声特性模拟现实中“低信噪比”的非周期信号场景FFT变换离散傅里叶变换(DFT)、奈奎斯特采样定理将时域“混叠信号”分解为频域“频谱成分”为滤波提供基础频域滤波时域卷积频域乘积、低通滤波器设计直接在频域分离有用信号与噪声比时域滤波更高效直观逆FFT傅里叶逆变换(IDFT)重构滤波后的干净时域信号运行效果与结论代码运行后将输出两张时域波形图上方原始含噪信号波形受高频噪声干扰呈现“毛刺”下方滤波后信号高频噪声被滤除恢复为平滑的5Hz正弦波。该流程展示了傅里叶变换在信号去噪中的经典应用是数学建模中“信号处理类问题”的基础方法之一。