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凯里建设网站,力天装饰口碑怎么样,公司简介图片模板,创意江苏网站建设问题描述 Jerry\texttt{Jerry}Jerry 在玩水果忍者游戏#xff0c;他有一个特殊能力#xff1a;可以在任意时刻切割屏幕上所有的水果。每次切割时#xff0c;如果切割的水果数量超过 222 个#xff0c;他就能获得等同于切割水果数量的分数。每个水果有出现时间 XiX_iXi​ 和…问题描述Jerry \texttt{Jerry}Jerry在玩水果忍者游戏他有一个特殊能力可以在任意时刻切割屏幕上所有的水果。每次切割时如果切割的水果数量超过2 22个他就能获得等同于切割水果数量的分数。每个水果有出现时间X i X_iXi​和消失时间Y i Y_iYi​Jerry \texttt{Jerry}Jerry只能在[ X i , Y i ] [X_i, Y_i][Xi​,Yi​]时间段内切割该水果。每个水果被切割后就会消失不能再被切割。给定N NN个水果的时间区间求Jerry \texttt{Jerry}Jerry能获得的最大分数。数据范围1 ≤ N ≤ 1000 1 \leq N \leq 10001≤N≤10000 ≤ X i ≤ Y i ≤ 1 0 9 0 \leq X_i \leq Y_i \leq 10^90≤Xi​≤Yi​≤109。解题思路关键观察切割决策点由于Jerry \texttt{Jerry}Jerry切割时会切掉屏幕上所有水果我们需要选择一些时间点进行切割。一个重要的优化是存在一个最优解其中所有切割时间点都是某个水果的出现时间。排序与连续性将水果按出现时间排序后如果我们在某个时间点t tt切割那么被切割的水果在排序后的数组中一定是连续的一段。正确性证明引理 1 切割时间点可以限定为水果的出现时间证明假设在最优解中存在一个切割时间t tt它不是一个水果的出现时间。设这次切割覆盖的水果集合为S SS。令t ′ max ⁡ { X i ∣ i ∈ S } t \max\{X_i \mid i \in S\}t′max{Xi​∣i∈S}即S SS中水果最晚的出现时间。由于所有i ∈ S i \in Si∈S都满足X i ≤ t ≤ Y i X_i \leq t \leq Y_iXi​≤t≤Yi​且t ′ ≤ t t \leq tt′≤t所以对于任意i ∈ S i \in Si∈S仍有X i ≤ t ′ ≤ Y i X_i \leq t \leq Y_iXi​≤t′≤Yi​。因此将切割时间从t tt提前到t ′ tt′不会减少被切割的水果数量且t ′ tt′是某个水果的出现时间。由此所有切割时间都可以调整为水果的出现时间。引理 2 被切割的水果在排序后连续证明将水果按出现时间升序排序设排序后的数组为a 1 , a 2 , … , a n a_1, a_2, \ldots, a_na1​,a2​,…,an​。假设在时间t tt切割且t tt是某个水果a k a_kak​的出现时间。设被切割的水果集合为S SS。对于任意i , j ∈ S i, j \in Si,j∈S且i j i jij假设存在m mm满足i m j i m jimj但m ∉ S m \notin Sm∈/S。由于a m a_mam​的出现时间X m ≤ X j ≤ t X_m \leq X_j \leq tXm​≤Xj​≤t因为排序后X m ≤ X j X_m \leq X_jXm​≤Xj​且a m a_mam​没有被切割说明Y m t Y_m tYm​t。但a i a_iai​被切割意味着Y i ≥ t Y_i \geq tYi​≥t而X m ≤ X j ≤ t X_m \leq X_j \leq tXm​≤Xj​≤t且Y m t Y_m tYm​t与排序性质矛盾。因此S SS在排序数组中必须是连续的一段。动态规划设计基于以上观察我们设计动态规划算法状态定义令d p [ i ] dp[i]dp[i]表示考虑前i 1 i1i1个水果下标从0 00开始时能获得的最大分数。状态转移不切割第i ii个水果的出现时间d p [ i ] d p [ i − 1 ] dp[i] dp[i-1]dp[i]dp[i−1]。以第i ii个水果的出现时间t X i t X_itXi​进行切割从i ii往前遍历统计在时间t tt仍然存在即Y j ≥ t Y_j \geq tYj​≥t的水果数量c n t cntcnt。如果c n t 2 cnt 2cnt2则可以从d p [ j − 1 ] dp[j-1]dp[j−1]转移其中j jj是这组连续水果的起始下标d p [ i ] max ⁡ ( d p [ i ] , d p [ j − 1 ] c n t ) dp[i] \max(dp[i], dp[j-1] cnt)dp[i]max(dp[i],dp[j−1]cnt)。边界条件d p [ − 1 ] 0 dp[-1] 0dp[−1]0没有水果时分数为0 00。最终答案d p [ n − 1 ] dp[n-1]dp[n−1]。复杂度分析时间复杂度O ( N 2 ) O(N^2)O(N2)对于每个水果i ii需要向前遍历统计可切割的水果数量。N ≤ 1000 N \leq 1000N≤1000因此总计算量在可接受范围内。空间复杂度O ( N ) O(N)O(N)用于存储d p dpdp数组和水果数据。代码实现// Juice Extractor// UVa ID: 12018// Verdict: Accepted// Submission Date: 2025-12-20// UVa Run Time: 0.000s//// 版权所有C2025邱秋。metaphysis # yeah dot net#includebits/stdc.husingnamespacestd;constintMAXN1010;structFruit{intstart,end;}fruits[MAXN];intdp[MAXN],n;intdfs(intp){if(p-1)return0;if(~dp[p])returndp[p];// 第 p 个水果的出现时间不切割intrdfs(p-1);// 第 p 个水果的出现时间作为切割时间intcnt0;for(intip;i0;i--){if(fruits[i].endfruits[p].start)cnt;if((!i||fruits[i-1].start!fruits[i].start)cnt2)rmax(r,dfs(i-1)cnt);}returndp[p]r;}intmain(){intt;cint;for(intcaseId1;caseIdt;caseId){cinn;for(inti0;in;i)cinfruits[i].startfruits[i].end;sort(fruits,fruitsn,[](constFruita,constFruitb){if(a.start!b.start)returna.startb.start;returna.endb.end;});memset(dp,-1,sizeofdp);coutCase #caseId: dfs(n-1)\n;}return0;}代码说明排序将水果按出现时间升序排序如果出现时间相同则按消失时间升序排序。记忆化搜索函数dfs(p)计算前p 1 p1p1个水果的最大分数使用d p dpdp数组记忆化结果。转移细节在统计可切割水果数量时通过条件fruits[i - 1].start ! fruits[i].start确保只在连续相同开始时间的最后一个水果处进行转移避免重复计算。输出按照题目要求输出每个测试用例的结果。总结本题的关键在于将切割时间点优化为水果的出现时间并利用排序后的连续性简化动态规划转移。通过O ( N 2 ) O(N^2)O(N2)的动态规划可以在规定时间内求解N ≤ 1000 N \leq 1000N≤1000的问题。代码实现简洁记忆化搜索使状态转移更加直观。