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网站突然不被百度收录,网络营销推广方式包括哪几种,达州住房和城乡建设厅网站,wordpress 工具箱学习目标#xff1a;理解多变量函数的导数#xff0c;掌握梯度的概念和性质 预计时间#xff1a;15-20分钟 前置知识#xff1a;导数基础#xff08;3.1#xff09;#x1f4cb; 本篇内容 偏导数概念 → 偏导数计算 → 梯度定义 → 梯度性质 → 实际应用#x1f4ca; 1…学习目标理解多变量函数的导数掌握梯度的概念和性质预计时间15-20分钟前置知识导数基础3.1 本篇内容偏导数概念 → 偏导数计算 → 梯度定义 → 梯度性质 → 实际应用 1. 偏导数多变量函数的导数1.1 什么是偏导数生活类比房价受面积和楼层影响偏导数告诉我们只改变一个因素时的变化场景你在看房100平米10楼价格210万问题1如果面积增加到101平米楼层不变价格变多少答案增加2万 → 这就是对面积的偏导数 2问题2如果楼层升到11楼面积不变价格变多少答案增加0.5万 → 这就是对楼层的偏导数 0.5偏导数 只改变一个变量看结果变化多少1.2 房价函数示例importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltfrommpl_toolkits.mplot3dimportAxes3D# 解决中文显示问题plt.rcParams[font.sans-serif][Arial Unicode MS,SimHei,Microsoft YaHei,STHeiti]plt.rcParams[axes.unicode_minus]False# 例子房价函数# price 2 * area 0.5 * floordefhouse_price(area,floor):return2*area0.5*floor# 偏导数# ∂price/∂area 2 面积每增加1平米价格增加2万# ∂price/∂floor 0.5楼层每增加1层价格增加0.5万area100floor10pricehouse_price(area,floor)print(f 房价分析)print(f当前房价:{price}万元{area}平米{floor}楼)print(f\n 偏导数的含义)print(f∂price/∂area 2 → 面积增加1平米价格增加2万)print(f∂price/∂floor 0.5 → 楼层增加1层价格增加0.5万)print(f\n 实际应用)print(f如果换成101平米楼层不变{house_price(101,floor)}万元2万)print(f如果换成11楼面积不变{house_price(area,11)}万元0.5万)# 3D可视化figplt.figure(figsize(10,6))axfig.add_subplot(111,projection3d)area_rangenp.linspace(50,150,30)floor_rangenp.linspace(1,20,30)A,Fnp.meshgrid(area_range,floor_range)Phouse_price(A,F)ax.plot_surface(A,F,P,cmapviridis,alpha0.8)ax.set_xlabel(面积平米)ax.set_ylabel(楼层)ax.set_zlabel(价格万元)ax.set_title(房价函数)plt.show() 3D图解读关键观察斜面形状这是一个平滑的斜面不是弯曲的说明房价与面积、楼层是线性关系沿着面积方向看固定楼层面积增加 → 高度价格上升上升速度 偏导数 ∂price/∂area 2意思每增加1平米价格涨2万沿着楼层方向看固定面积楼层增加 → 高度价格上升上升速度 偏导数 ∂price/∂floor 0.5意思每升高1层价格涨0.5万颜色含义深色紫色→ 价格低小面积、低楼层浅色黄色→ 价格高大面积、高楼层 偏导数就是这个斜面在不同方向上的倾斜程度沿面积方向更陡偏导数2→ 面积对价格影响更大沿楼层方向较缓偏导数0.5→ 楼层对价格影响较小1.3 偏导数的计算importnumpyasnp# 数值方法计算偏导数defpartial_derivative_x(f,x,y,h1e-5):对x的偏导数return(f(xh,y)-f(x,y))/hdefpartial_derivative_y(f,x,y,h1e-5):对y的偏导数return(f(x,yh)-f(x,y))/h# 例子f(x, y) x² 2xy y²deff(x,y):returnx**22*x*yy**2x,y3,4# 计算偏导数df_dxpartial_derivative_x(f,x,y)df_dypartial_derivative_y(f,x,y)print(ff({x},{y}) {f(x,y)})print(f∂f/∂x {df_dx:.4f}理论值: 2x 2y {2*x2*y})print(f∂f/∂y {df_dy:.4f}理论值: 2x 2y {2*x2*y}) 2. 梯度最陡的方向2.1 什么是梯度生活类比爬山时梯度指向最陡的上坡方向场景你在山上迷路了想快速下山方法1随便走 → 可能走到平地甚至上坡方法2每次都朝最陡的下坡方向走 → 最快下山梯度就是告诉你最陡的方向梯度方向 最陡的上坡方向函数增长最快负梯度方向 最陡的下坡方向函数下降最快AI训练就是下山山顶 损失大模型很差山谷 损失小模型很好梯度下降 沿着最陡的路下山优化模型2.2 梯度的计算和可视化importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotasplt# 解决中文显示问题plt.rcParams[font.sans-serif][Arial Unicode MS,SimHei,Microsoft YaHei,STHeiti]plt.rcParams[axes.unicode_minus]False# 例子损失函数 L(w, b) (w-3)² (b-2)²# 最小值在 (3, 2)defloss(w,b):return(w-3)**2(b-2)**2# 梯度 [∂L/∂w, ∂L/∂b]defgradient(w,b):dL_dw2*(w-3)dL_db2*(b-2)returnnp.array([dL_dw,dL_db])# 在不同点计算梯度points[(0,0),(1,1),(2,2),(3,2),# 最小值点]print( 不同位置的梯度)forw,binpoints:Lloss(w,b)gradgradient(w,b)grad_magnitudenp.linalg.norm(grad)print(f点({w},{b}): 损失{L:.2f}, 梯度{grad}, 梯度大小{grad_magnitude:.2f})print(\n 观察)print(- 离最优点越远梯度越大下山越陡)print(- 在最优点(3, 2)梯度[0, 0]到达山谷底部)# 可视化w_rangenp.linspace(-1,7,100)b_rangenp.linspace(-1,5,100)W,Bnp.meshgrid(w_range,b_range)Lloss(W,B)plt.figure(figsize(10,6))contourplt.contour(W,B,L,levels20,cmapviridis)plt.colorbar(contour,label损失值)# 绘制梯度箭头forw,bin[(0,0),(1,1),(4,3)]:gradgradient(w,b)plt.arrow(w,b,-grad[0]*0.3,-grad[1]*0.3,head_width0.2,head_length0.2,fcred,ecred)plt.plot(3,2,r*,markersize20,label最小值点)plt.xlabel(w)plt.ylabel(b)plt.title(损失函数等高线图红色箭头负梯度方向)plt.legend()plt.grid(True,alpha0.3)plt.show()print(\n 梯度指向函数增长最快的方向)print( 负梯度指向函数下降最快的方向优化方向) 等高线图解读1. 等高线圆圈每个圆圈代表相同的损失值圆圈越靠内 → 损失越小颜色越深圆圈越靠外 → 损失越大颜色越浅中心点(3, 2) → 损失最小山谷底部2. 红色箭头负梯度方向箭头指向损失下降最快的方向箭头垂直于等高线这是数学规律箭头都指向中心点(3, 2)这就是梯度下降算法走的路径3. 实际意义梯度告诉我们最陡的方向负梯度告诉我们下山最快的路梯度下降 每次都朝负梯度方向走一小步最终到达山谷底部损失最小 3. 梯度的性质3.1 性质1梯度垂直于等高线为什么梯度垂直于等高线想象你在山上等高线海拔相同的点连成的线水平的路梯度最陡的上坡方向问题如果你沿着等高线走海拔变化吗答案不变因为等高线上所有点海拔相同结论最陡的方向梯度一定垂直于水平的路等高线数学表达等高线函数值相同的点f(x, y) c常数梯度指向函数值增长最快的方向因此梯度必然垂直于等高线实际应用在上面的等高线图中红色箭头梯度都垂直穿过圆圈等高线这就是为什么梯度下降能最快到达最优点3.2 性质2梯度的模长表示变化率importnumpyasnpdeff(x,y):returnx**2y**2defgrad_f(x,y):returnnp.array([2*x,2*y])point1(1,1)point2(3,3)grad1grad_f(*point1)grad2grad_f(*point2)print(f 梯度模长对比)print(f点{point1}的梯度:{grad1}, 模长:{np.linalg.norm(grad1):.2f})print(f点{point2}的梯度:{grad2}, 模长:{np.linalg.norm(grad2):.2f})print(\n 离原点越远梯度模长越大变化越快)梯度模长的含义梯度模长含义实际意义大变化快山坡很陡需要小心走小学习率小变化慢山坡平缓可以大步走大学习率0不变化到达极值点停止优化AI训练中的应用训练初期梯度大 → 损失下降快 → 进步明显训练后期梯度小 → 损失下降慢 → 接近最优收敛时梯度≈0 → 损失不再下降 → 训练完成 总结核心概念✅ 偏导数 只改变一个变量时的变化率✅ 梯度 所有偏导数组成的向量✅ 梯度指向函数增长最快的方向✅ 梯度垂直于等高线梯度是AI优化的指南针✨